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第一章 打破數學學習的迷思

大家都明瞭「給他魚,不如給他釣竿」的道理,不只是給他釣竿,更要先讓他明白為何要用釣竿,還要教他怎樣使用釣竿,否則給了他釣竿,可能變成了曬衣竿或打狗棒。

不正確的學習方法,簡單地說,就是過度使用記憶與熟練來學數學,而不是用理解與思考。會有這樣的結果,其實是長期錯誤的習慣與認知造成的。而廣泛存在於許多人心中的一些迷思,更阻礙了學生調整學習方法的動機!唯有先打破對於數學的迷思,讓學生了解錯誤學習方式所產生的危機,才能使學生願意改正學習習慣和方法。

常常有新認識的朋友知道我是數學老師後,第一句話就是:「啊!數學是我以前最怕的科目。」這表示很多人在學生時代都恐懼數學。有的父母當年就怕數學,因為抓不到方法而學不好,現在教育子女,同樣不知道該如何督促他們學數學,有的仍舊沿襲自己當初的想法去要求子女,於是對數學的害怕就這麼代代相傳。不僅在台灣,這情況舉世皆然。

這一章我希望家長與學生一起閱讀,除了可以打破傳統上對數學的誤解,也能了解為什麼要改變學習方法。

迷思1.國中數學是這樣學的,高中數學也應該這樣學。

我們先來看看,國中數學與高中數學有什麼不同?

從小學到大學,學習的方式需要不斷地改變。小學的數學幾乎都是用直觀,看得見的真實問題,覺得對就好,不需要證明,過程也不會太長。

國中的數學引進較多的符號系統,開始出現一些生活中不易印證的內容,有少許的證明,也出現一些規則,需要用推理來解決問題。

到了高中,數學離生活越來越遠,邏輯的推論漸漸占有更重的分量,推論必須更精確,題目的變化更大,解題的過程變長,直觀的想法已經不足以應付了。

如果大學讀數學系,那就變得更抽象了,幾乎完全是邏輯的思維,直觀只是輔助思考的工具。

每一個階段的學習方式和要求不同,是因為要配合學生心智的成長,這些改變是循序漸進的,會越來越接近純數學的本質。小學生無法用高中生的數學思考模式,高中生的數學也無法用小學生的方法學習。

原本學生按部就班學習,依著教材逐漸改變學習方式,應該不會有太大問題,可是由於升學考試的壓力,不只是學生,還包括家長和老師,常常因此而扭曲了數學的學習,這現象在國中與高中都很常見。

回到我們的問題:「是否可以用國中時的方法來學習高中數學?」這個問題,要看國中時期是如何學數學的,倒不是國中數學成績好,就一定可以照著以前的方法學習數學;至於那些國中時期就學得很辛苦的學生,當然更要修正學習的方法,否則高中數學會更慘。

只有兩種學生大致可以不必擔心。

第一種學生是,國中時在數學方面沒有花很多時間、卻又能考好的同學。不要懷疑,真的有一些學生是如此,他們已經抓到了學數學的方法,總是能夠輕鬆學好數學,這些學生在進入高中後,也會再自行思索而找到適合高中的學習方法。正確學習數學的方向在國中與高中相差不多,可惜只有很少數的學生掌握到方向。

另一種學生就是,國中時即熱愛數學,我是指那種喜歡數學本身的學生,而不是只喜歡數學分數或數學老師的學生。這種學生已經領略了數學的樂趣,會廣泛涉獵課外的數學,而他們的數學成績也都很好。

那麼,那些國中三年都戰戰兢兢努力算數學、同時也能得到不錯成績的學生,又會面臨什麼處境呢?

這些同學多半沒有用對方法,但是由於國中數學範圍不大,考題變化不多,所以藉由不斷反覆練習,通常也可以得到不錯的成績。像這樣,運用記憶與熟練來代替理解的方法,在國中時期可能還有效,可是上了高中就不行了。這樣的學生通常數學分數還不錯,可是不喜歡數學,也不知道數學到底學了什麼。

這樣的學生其實很多,去年(2008年)國際教育成就調查委員會(IEA)公布調查結果,台灣八年級學生數學平均成績全球第一,但對數學的興趣和自信卻吊車尾。

拿國中數學與高中數學來超級比一比,高中當然比較難,分量也多了很多倍──其實更重要的是,高中數學比國中數學更抽象、更精細而嚴謹,因此相對的,在高中階段,邏輯推論會比演算更重要。這本來就是數學這門學科的特性,只是高中階段要求更高,如果讀到大學數學系,要求又會比高中階段更高。

至於考試題目,當然就更廣泛而難以捉摸,每年的學測與指考題目推陳出新,學校的考題也跟著變化多端。不僅數學科是這樣,其他科目也大致如此。

那麼那些認真學習數學,花了很多時間,而且考了高分的學生,他們的學習方法有問題嗎?這很難說對或錯,可是他們的學習方法可能適用於考高中的基測,卻不適用於考大學的學測與指考。

國中老師的教學目標是考好基測,考好基測的方法很多,較多的國中老師的教學方法偏重於「熟能生巧」,結果造成只有少部分學生會在熟練後再自己想清楚,而多半學生在熟練到足以應付考試後,就不會再深入思考了。國中數學多為基本運算而變化不大,靠機械式記憶和不斷演算,確實可以拿到高分。

我知道很多國中數學補習班會用幾種有效的法寶,一種是嚴格管教,看你敢不敢再做錯。曾經有一個學生很認真地告訴我:「我爸爸跟我講,學校老師不可以打學生,補習班老師可以。」天啊!這是哪門子的道理?

另一種是死纏爛打,學不會(應該是「記不得」或「做不對」)你就別想回家,繼續做到會為止,否則星期天還要再來做。

還有一種是循循善「誘」,做對了就記點,累積點數換獎品。很多家長都有這樣的經驗,大把鈔票讓孩子去補習,孩子不知感謝,補習班老師略施小惠,孩子就感激涕零。唉!做父母的通常也只能感嘆,只要孩子考好就阿彌陀佛了。

即使學校老師也可能是這樣。

阿超是個活潑的學生,喜歡數學也樂在數學,基測數學滿分。有一次,他私下告訴我他在國中遇見的兩位數學老師,那是一所師資優良的私立學校。國一的老師上課活潑而精采,有時天馬行空,偶爾不知所云,卻很有啟發性,常使他東想西想。

班上也有幾位同學像他一樣因而喜歡數學,這幾個同學後來在數學上也都有傑出的表現,但是全班的數學成績,卻非常不理想。有的學生抱怨上課抓不到重點,有些家長反映老師的作業、考試太少。

國二換了一個數學名師,上課幽默又有權威,解題時條理而清楚,又有很多手段和技巧,將全班治得服服貼貼,全班的數學成績也脫胎換骨般在全年級名列前矛。新老師一直?到他們畢業,全班都很喜歡新老師,只是阿超覺得新老師把數學變得不再有趣。

這是國中數學老師的使命:讓全班學生考高分,將他們送進理想的高中。所以,很多學生經過反覆練習,變成基測高分卻不了解數學的學生,這些學生上高中後,如果不能改變學習數學的態度,當然就學不好了。

迷思2. 國中數學都學不好,高中數學沒救了。

沒有什麼情況會沒救了,只有認定自己沒救的人,才是真的沒救了,俗話說「哀莫大於心死」,只要不放棄,就永遠有機會。

國中數學很爛的同學,要清楚過去錯誤的原因,方法不對,就永遠學不好數學。先將本書徹底看一遍,想一想本書的說法是否有道理,再檢視一下自己以前的學習方法是否不妥。真正了解過去的錯誤方法,才可能真正的改正。下一步就是,認真執行本書所講的學習方式。開始會很辛苦,畢竟要立即改變既有的習慣很不容易,但是一陣子以後,你就會發現學數學也可以很有意思。

至於國中沒學好的數學,可以重新再學一次,只要把課本裡的數學真正讀懂就行了。也可以配合高中數學,遇到跟國中數學有關的部分,再由基本重新來過,多做一點基本運算即可,不用擔心比人家少學了三年的東西。國中三年的數學,大約相當於高中一冊的分量,你就這麼想:「別人三年讀六冊,我得三年讀七冊。」並不難做到吧。

我見過很多學生,國中時數學成績平平,高中時數學成績突飛猛進,一般人的說法是他「突然開竅了」,其實是他抓到了方法,學習自然就得心應手了

迷思3.數學學不好就是因為演算題目不夠。

這話有三分道理與七分迷思,演算題目是學習數學的必經階段,不過數學內容尚涵蓋推理與論證,演算題目絕不是最重要的。運用正確方法,多做不同的題目,會加強解題的能力,但若方法錯誤,做再多題目也是枉然。

簡單來說,多做題目是要能不斷累積解題經驗,變成有用的知識。可是有的學生雖然很努力,卻只在吸收一堆零碎又不完整的片段,又不能加以融會整合,最後還是頭腦空空。中國有句老話:「行萬里路勝讀萬卷書。」西方也有句:「哈巴狗環遊世界一周,還是隻哈巴狗。」問題不在做題經驗多,而是經驗是否能夠累積成有用的知識。讀完本書第三章,你就能了解這中間的差別。

數學不是熟能生巧的技能,數學重要的是推理與論證。不懂而拚命算,是浪費時間,懂了而一直做重複的演算,是原地踏步;只有懂了以後再不斷算不一樣的題目,才會進步。

很多家長看到孩子成績不理想,首先想到的就是練習不夠,於是,買一堆參考書、測驗卷,逼孩子再多花一點時間,再多算一點數學。反正多做不會錯,最好一遍又一遍地反覆做,這也開始了學生學習數學的噩夢。

其實,大多數排斥或放棄數學的學生都經過了很多努力,只是因為方法不對,拚命算了之後仍舊考不好,一再受到挫折,直到有一天,他覺得自己永遠都學不好數學了,或者覺得將時間用在其他科目上比較有效率,因此選擇跟數學說再見。

部分老師也會陷入這種迷思,沒有提升學生對問題的理解層次,也沒有建立學生自己解決問題的能力,只是賣力地講解與不斷地考試,然後埋怨學生為什麼總是記不住,最後徒留無奈的老師與無助的學生。

「多算就自然會了」是很多學生、家長,甚至部分老師共同的迷思。

在一個基礎法文班上,老師從頭到尾都只用法語上課,有學生下課後向老師抱怨聽不懂,老師親切地告訴學生:「不管你聽不聽得懂,只要常常聽,你自然就會懂了。」學生回答:「但是我家狗每天亂吠,我聽了10年還是聽不懂牠在叫什麼?」

這比喻也許過分了點,但道理是相同的,因為只有懂了以後的練習,才是有效的學習。多半學生的問題是沒有充分理解,而不是演算不夠,如果不能加深理解,再怎麼反覆運算也是沒有用的。本書第三章也會仔細說明如何深入理解。

數學的重點是邏輯的推演,而不是機械式的運算,在真正理解數學後,只需要適量的運算即可。相反的,如果在沒有充分理解以前,只是不斷的運算,對數學學習非但沒有幫助,反而可能阻礙了提升數學理解層次的機會,因為反覆練習常使學生記熟做法而自以為已經學會了。

這是很危險的,因為只要一遇到稍加變化的題目,學生就會束手無策,尤其經過一段時間後,更容易因記憶生疏而忘記做法。長久這樣,學生會變得自以為都學會了,但很快就都忘了,而在考試的時候,每題都自以為會寫,但都沒有把握,只能希望答案是對的(甚至自己也不知道是否算對了),或者自認考得不錯(因為都有算出一個答案),發下考卷才發現分數不是自己預期的。

這樣的學習還有一個缺點:學過的東西會在一段時間之後忘得一乾二淨。

有人相信「一分耕耘,一分收穫」,但在學習數學方面,這句話卻未必正確。每個班級總能看到有些學生非常努力學數學,卻總是學不好,同時也會發現一些學生輕輕鬆鬆學好數學。

「只問耕耘,不問收穫」,常常造就些悲劇英雄;「要怎麼收穫,先怎麼栽」,才能事半功倍,獲得大豐收。學習數學時,一定要先弄清楚正確的學習方法,接下來的努力才會有收穫。

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